信号の自由度

信号の自由度 Freedom of signal

信号の周波数幅と時間幅が制限されると、
そのような信号を有限個のパラメータで一意的に決めることができるでしょうか？

一般に、答えは「ノー」ですね。　たとえば、帯域制限を受けた有限エネルギーの信号は永遠に尾を引きます（帯域制限パルスを参照）。　逆に、有限時間で終わる信号は無限の周波数成分をもつはずです。　この隘路から抜けるには、有限時間幅の信号を繰り返して、連続な周期信号を対象にしなければなりません。しかし、フーリエ展開で学んだ周期信号ならば、１周期区間をとれば、信号の情報がすべて含まれているので、答えは「イエス」ですね。周期信号を想定し、標本化定理からすれば、時間幅を秒（は整数）とし、この区間内の複素信号を

とし、周波数幅がに制限されているならば、秒毎にをサンプルして得られる個のサンプル列から、元の連続信号を完全に復元することができます。　逆に、でサンプルしてしまうと、元の信号を正確に復元できません。　したがって、ちょうど秒として、帯域の複素信号を秒周期で個サンプルして得る次元ベクトルはその複素信号を過不足なく表現しています。　このことから、この複素信号の自由度はであるといいます。

周波数のページでみたように、周波数は、「過去未来にわたる永遠の振動」を定義しています。　したがって、下の右図のように、時間によって周波数幅が変化するという図は、あり得ないわけです。　ただ、音声や音楽の波形を短時間で切り取り、その区間内の周波数成分を分析することは普通に行われています。　これはこれで、実用的な近似の話です（周波数分析を参照）。

注１：　周波数幅が自在に変化する信号をもっとも効率よく（もっとも少ない数値で）表現する手法としてウェーブレットがあります。局所的に自由度が高いところでは速くサンプリングし、低いところではゆっくりサンプリングすればよいという考えを一般化しようとするものです。

フーリエ級数展開は周期信号を対象にして、その基本周期に含まれる周波数成分を記述するものです。　長さ秒の任意の連続な複素信号は以下のように一意にフーリェ級数展開できます。

この信号が周波数幅に制限されていると、はからまでです。　しがって、

となります。　フーリエ係数の個数はになり、周波数領域では自由度が一個多くなりました。　帯域端の解釈や時間幅の端点の解釈の違いによって、このようにの差が出ます。　普通は、時間幅を十分大きくとって、この差を解消します。　では、上のように有限個のフーリエ係数で表現された周期信号はどんな形をしているでしょうか？　基本周期の端点に注目すると、フーリエ係数の個数が有限なので、

は明らかです。　すなわち、下の上図のように連続的な周期信号でなければなりません。　下の下図のように時間幅の端点で不連続な周期信号は無限個のフーリエ係数を必要とします。　フーリエ係数を増やすにしたがって不連続点を近似する様子は Gibbs Oscilation を参照してください。

注２：　通信では、チャンネルをバンドパスフィルターで選局します。　このとき、バンドパスフィルターの帯域外の雑音成分はカットされるので、両者の帯域を同じとして（自由度を同じとして）、信号対雑音電力比（SNR: Signal to Noise Ratio）を計算します。　バンドパスの出力を同期検波して得られるベースバンド信号と雑音を、それぞれととすれば、

で計算します。　ここで、はバンドパスの帯域幅の逆数です。　信号と雑音の周波数帯域が異なればこのような計算はできません。　ディジタル伝送では、ナイキストパルスを用います。　このときのパルス間隔を秒とすると、ベースバンド信号を周期でサンプリングした信号と雑音との比が誤り率を評価するときに重要となります。　しかし、ロールオフのためなので、信号も雑音も標本化定理を満たしていません。　とりあえず、信号を