直交周波数分割多重　    OFDM (Orthogonal Frequency Division Multiplex)

   index   

 このページは、乱立する多重化方式の横断的・直感的・客観的な考察です。　文脈重視から、キーワードの解説は避けますので、適宜リンクを参照してください。

多重化は、セル間干渉でも見たように、理論的にはどんな方法を採っても「うまい話」はないはずです。『これしかない』といった過剰宣伝は通信技術の進歩を大きく捻じ曲げてしまう恐れがあります。　OFDMは『これしかない』という勢いでいろんな標準に採用されており、いろんな効能書きが唱えられています。　かつて、CDM（符号分割多重）も、その有利さが尤もらしく宣伝されてきました。　いったん、デファクト・スタンダードになってしまうと、LSIが開発され、補助的な技術も開発され、あたかも最高技術のように見えてしまうから不思議です。　そして、あとはお決まりの backward compatibility の泥縄世界。　多くの場合、それらを先導したのは一企業あるいはコンソーシアムなのですが・・・。

 本当のところ、OFDM は最良なの？

と開き直って聞かれると、虚心になって効能を確認しなければなりません。　おそらく、いろんな角度から見て一長一短ということになりそうなので、ここでは定性的な分析をして、あとは読者にお任せということにします。　数値的な比較は、パラメータの個数や伝送環境が多様なため大変困難ですし、一つの比較項目に対しても多くの反例が予想され、とても責任をもって優劣を述べる勇気がありません。　まして、最近ではＯＦＤＭとＣＤＭの組み合わせなどが出現し、ますますややこしい世界になっています。

『OFDMは周波数利用効率が高い』
とよく言われます。
『帯域いっぱいまでサブキャリアを詰め込めば、あとはＦＦＴという最強の武器が控えている』
というわけです。
サブキャリアの密度を上げれば、
１．長いマルチパスをカバーできる
２．深いスペクトルヌルをカバーできる
３．注水定理が正確に実現できる
などなど・・・
しかし、所詮、時間軸と周波数軸はフーリエ変換で結ばれる深い仲！
信号には不確定性原理という壁がある！
果たして、
ＯＦＤＭが一方的に有利であるという話が存在するのか？

まずは、公正な土俵を次のように用意してみます。

    1. チャンネルは厳密に帯域制限されるものとする。
    2. ナイキストパルスは同じロールオ率とする。
    3. ブロックやシンボルの周波数同期がとれているものとする。

この条件下で３つの多重化方式を実現した場合、以下の伝送障害に対する優劣を当たってみます。

    1. 線形歪み（移動無線ではレイリー・フェージング、有線では伝送路やフィルターの特性歪み）
    2. 加法的有色ガウス雑音(Additive Colored Gaussian Noise )や禁止帯域
    3. 増幅回路の非線形歪み ( power back-off penalty )
    4. クロック周波数オフセット

ここでは、「単一キャリヤTDM」と「CDM」と「OFDM」の３つを前提にします。
注１：　光ファイバー、同軸ケーブル、対線などを用いたベースバンド伝送（変調をしない）では、それぞれ固有な伝送路特性があり、相関符号伝送あるいはTHPどが広く用いらている。しかし、ＴＨＰはもっと一般的な伝送原理であり、注水定理に絡む最適伝送を実現するものである。１９７２年に発表されたＴＨＰ（Tomlinson Harashima(原島) Precoder）は、発表当初から欧米で高い評価を受けて実用されているにも関わらず、日本で注目する人は少ない。最近では、IEEE802.3an-2006 ： 10G-ether over UTP (Unsielded twist pair cable) で標準化された。実用化は困難だけどOFDMならもっと困難！

    （１）　Single Carrier ＴＤＭ
    複素シンボルを、ナイキストパルスで次々と送ります。　ＴＤＭでは、ブロックの各ビットにユーザーを割り付けます。　これをビット多重と呼んでいますが、実際の多くはスロット多重です。　ＱＡＭの結果は次のようになります。　ただし、線形変調の統一表現にそって、正周波数成分を表示します。　実際に送信される変調波はこの実部です。



     

    チャンネル歪みの除去は等化や系列推定で行います。　等化や系列推定は、必ずしもブロック伝送を必要としないので、パケット多重などが自由にできます。　下は変復調の原理図です。　 は受信実信号の負周波数成分をカットして正周波数成分を取り出す操作を意味します（ ヒルベルト変換を参照）。

    img1.gif

    （２）　Direct Sequence ＣＤＭ
    長さ の互いに直交する２値（）系列は全部でN個あります（たとえばアダマール行列）。　これらをベクトル

    で表します。　ユーザーの複素送信シンボルを該当するベクトルに掛けて加算したもの

    が送信系列であり、これを上と同じロールオフのナイキストパルスを用いてベースバンド信号を作りＱＡＭします。　変調信号（複素表示）は次のようです。

    受信側では、ＲＡＫＥ（通常は整合フィルターを前置する）した信号と候補符号の内積 によって を検出します。　変復調の原理図は下のようです。

    img2.gif

    （３）　ＯＦＤＭ
    このネーミングは、複数のキャリヤ（正弦波なので互いに直交している）にデータを載せるという発想からきています。　変調信号（複素表示）は


     

    のような意味と考えられます。　しかし、この信号は周期的であり時間が制限されていないので、たとえば基本周期で打ち切る必要があります。　打ち切りを行うとスペクトルは無限に長い裾を引き（帯域制限パルスを参照）、帯域制限の条件を満たすことができません。　厳格に帯域制限を守ろうとすれば、このような発想は不適当です。　帯域制限を遵守する実際の変復調は下のようなブロック図になっています。

    img3.gif

    このブロック図は、送信シンボル系列の逆離散フーリエ変換 （複素数）を single carrier QAM で送信することを意味しています。　ＣＤＭＡ や single carrier と公正な比較をするならば、同じ帯域に制限されたパルス を用いることになります。　変調信号（複素表示）は次のようになり、Single carrierと同じことになってしまいます。

    注２： OFDMの"Orthogonal"は単にフーリエ級数という直交展開を用いることからきていますが、このように解釈すると、受信は”周期信号の基本周期”を取り出すというイメージになる。　理論的には周期信号でデータを送れるわけがないので、、基本周期の両側（過去と未来）をある程度の長さで打ち切る（guard interval）。　打ち切る長さは、チャンネルのインパルス応答が十分に減衰する長さである。

さて、この段階で、３つのシステムのパルス伝送速度およびロールオフ・スペクトルはまったく同じです。　前記４つの伝送障害の克服の難易について、定性的な考察をしてみましょう。

１．線形歪み

（Ａ）時不変のケース
帯域内にスペクトルの大きな落ち込みがないケース（有線通信や見通し内無線中継など）では、３つのシステムにおける等化能力に差異はないと言えます。　大きなスペクトルの落ち込みが生じる場合は、得手・不得手が表面化するので、このケースに関して当たってみます。ただし、減衰特性が著しく変動し、SNRが悪い伝送路については、３者ともFallback（伝送速度を落として安全運転すること）を実行することになり、別の観点から総括する必要があります（Robust Transmission を参照）。
<Single Carrier TDM>
歪みの除去法として、トランスバーサル等化、周波数領域等化、判定帰還等化、系列推定があります。　トランスバーサル等化では、サンプリング位相によって生じるロールオフ帯域のスペクトル・ヌルはダブル・サンプリングで解消されます。帯域内のスペクトル・ヌルはもっとハイレート・サンプリングの等化器で解消できます。　周波数領域等化はトランスバーサル等化（コンボリューション）を ” ＦＦＴ＋周波数領域等化＋ＩＦＦＴ” の形に等価変換したもので、IFFTの出力（時間領域）で符号間干渉が無くなるように周波数特性をオンライン修正します。　これは時間領域トランスバーサル等化の演算量をＦＦＴを用いて大幅に削減したもので、周波数領域等化という観点からはＯＦＤＭと同様に見えますが、ストリーム伝送（ブロックの概念が無い）であること、等化の cost function が時間領域であることから、ＯＦＤＭと根本的に異なります（ＯＦＤＭとの比較はDavid Falconerが興味深い）。　判定帰還等化では、レスポンスの post cursor （大まかに言って、ピークの後のテール、マルチパスでいえばメインパス以遠からの反射）が同定で処理されるため、スペクトル・ヌルの多くは解消されますが、等化残の大きいケースもあります。
系列推定タイプは、チャンネル・レスポンスを同定するのでスペクトル・ヌルは解消されます。　しかし、チャンネル応答が長いと、アルゴリズムの演算量および記憶容量が爆発的に増加します。
<Direct Sequence CDM>
RAKEはチャンネルの整合フィルターを用います。　整合フィルターは、チャンネル応答の時間反転なので、スペクトル・ヌルの問題を回避できます。　RAKEの結果と送信符号候補との相関をとってデータ判定をします。雑音がAWGNのとき最適受信ですが、夕色雑音ではMAP（事後確立最大判定）をしなければなりません。チャンネルの減衰特性が、広い帯域に渡って雑音レベルよりも小さいケースでは、符号の直交性が崩れてしまいます。
<OFDM>
送信シンボルが周波数領域で与えられるので、スペクトル・ヌルの位置とサブチャンネルが直接対応します。　スペクトル・ヌルの解消は無理ですが、各サブチャンネルのＳＮＲが計測できれば、当該サブチャンネルをマスクすることになります（ただし、すべてのサブチャンネルについてＳＮＲを計測することやビット配分を最適化することは大変やっかいですし、このための送受間の打ち合わせプロトコルが必要になります）。　この辺のことは、robust transmissionで扱います　また、ＦＦＴの対象となるブロック内で等化を完結する（隣接windowからの干渉がない）ためには、ガード・インタバル (guard interval ) をブロックに付け足す必要があります。もちろん、時間領域等化で符号間干渉を無くせばガードインタバルは不要ですが、OFDMの目的はあくまでも周波数領域で等化を実行することにあるので、ガードインタバルの問題が出現したわけです。　この長さは、チャンネル・レスポンスと同じ長さを見込みます。　この分、伝送速度の低下を招きます。

img4.gif

ブロックが十分長ければ、各サブチャンネルの周波数間隔が狭められ、サブチャンネル内ではフラットフェージングと見做せるので、等化はサブチャンネルごとに一つの重み係数を最適化すれば済むという利点があります。サブチャンネルの密度を上げることは、ＦＦＴ効果の向上と減衰特性の推定精度の向上に繋がりますが、一方で時変要因（伝送路の変動や送受のクロック周波数オフセットなど）に対してsensitiveになってしまいます。
注3：厳密に言えば、サブチャンネルの振幅を調整するスペクトル成形は FFT window が同期した瞬間において正確ですが、変調信号全体がそのスペクトル成形を正確に実現するとは言えません。　たとえば、送信信号に deep notch などのスペクトル成形を加えることは、OFDM だけでは実現できません。
注4：OFDM のFFT window は矩形です。この window のフーリエ変換はサブチャンネルのスペクトルに相当します。このwindowを時間軸で引き伸ばしてガードインタバルを大きくとれば、サブチャンネルのスペクトルが細くなり、xDSLで使用されている DMT (Discrete Multi-Tone) になります。逆にスペクトルを広くとってオーバーラップさせ、時間周波数空間で隣接 window との直交化を図ると、ガードインタバルを無くすことができます。これをDWMT (Discrete Wavelet Multi-Tone) と呼び、現在盛んに研究されています。ただし、通信に応用するとなるとwavelet自体が変形する可能性があり、直交性が失われます。 なお、 wavelet の本質は 解析パルスの時間軸での拡大・縮小にあり（デルタ関数の後半を参照）、時間周波数空間で等間隔格子状に直交信号を配置しただけで "wavelet" のネーミングを使っているDWMTは大変気になります。
注５：OFDM も CDM もブロック伝送です。　実際には、チャンネル環境に応じて伝送速度を制御しますが、このときブロック当たりの送信ビット数が変化し、エラー訂正やMAC層とのインタフェースが変更になり、この煩雑さは相当なものです。

（Ｂ）時変のケース
時変系と言っても、移動通信のように連続的かつ高速にチャンネルが変化する場合と、ＰＬＣ(Power Line Communication）のようにステップ状に変化する場合があります。連続時変系では、ブロック内での歪みの時間変化が無視できる程度に、ブロック長を短くすることが要請されます。　ＣＤＭもＯＦＤＭもブロック伝送なので、もしこれが不可能ならば、Single Carrier TDM によるしかありません。　ここでは、ブロック内での時間変化が微小としましょう。
<Single Carrier TDM>
ブロックを意識せずに、シンボル・クロックで等化アルゴリズムを連続的に実行できます。　時間変化に対する追随性はパラメータの修正係数で決まります。　ブロックごとに修正する他の方法との比較は、あまりにも条件設定が多様なため、かなり困難と思われます。マルチパスによるスペクトル・ヌルが発生するケースでは、チャンネル応答が短かければブラインド系列推定（ブラインド問題、 ビタビ・ルゴリズム ）が高い追随性を発揮します。
<Direct Sequence CDM>
ブロックごとに適当な忘却係数を入れてＲＡＫＥの整合フィルターを修正する必要があります。　この修正はブロックごとに１回が普通です。ブロック内で修正可能なアルゴリズムが有れば、有効でしょう。
<OFDM>
ブロックを長くして、各チャンネルを１パラメータの修正で済ませたいのですが、そうすると、ＣＤＭと同様、時間変化に対する追随能力が落ちます。　減衰が大きいサブチャンネルは、ＳＮＲが悪いのでフェージングの推定精度が落ち、追随性が保証されません。

２．加法的有色ガウス雑音や禁止帯域

狭帯域干渉が集中する帯域、あるいは、他の規格ですでに使用されている帯域を避けるために、送信信号の電力スペクトルを制御する必要が生じます。　固定的にスペクトル成型する場合と適応的にスペクトル成型する場合があります。
送信電力が一定に拘束される場合、最適な送信信号の電力スペクトルは注水定理から決まります。　送信スペクトルが全帯域で一定値以下に拘束される場合は、フラットスペクトルの信号を送るのが自明の最適です。ここでは、送信電力が拘束されるケースを念頭においてみましょう。
<Single Carrier TDM>
単純なSingle Carrier では対処できません。　ただし、THP（相関符号伝送を一般化）があります。　これによれば、自由にスペクトルを成型でき、アナログ情報量の意味で注水定理を満たすこともできます。　ディジタル情報の場合は、シンボル系列の相関を最小多値数で実現することが要求されます。　「これをどのように実現するか？」、これを実現した結果、「アナログ信号で導かれた注水定理に近いか？」は難しい問題です。
<Direct Sequence CDM>
ＣＤＭは、必ずしも を要素とする直交符号にこだわる必要はありません。　禁止帯域のノッチや注水定理を満たす電力スペクトルをもつ直交信号系列を実数の範囲で設計することは容易です。　あまり、このようなＣＤＭは見かけませんが、注水定理を適応的に満たす有力な方法として研究の余地があると思われます。 下記はこの問題にチャレンジした一つの例です。
Akira Kanaoka and Yoichi Sato  “On Optimum CDMA System over Additive Colored Gaussian Noise”the 5th CDMA International Conference in Korea, November,2000  (pdf)
<OFDM>
各サブチャンネルの送信電力分布が注水定理を満たし、各サブチャンネルの多値数をSNRを参照して設定します。　厳密に言えば、多値数は２のベキではなく、各サブチャンネルについて、シンボルとブロック符号との対照表を作成する必要が生じます。　さらに、サブチャンネルごとに誤り訂正を行うのが最適ですが（注水定理）、回路は複雑になります。　実際には、サブチャンネルのSNRが均一になるように、nothing, 4QAM, 16QAM, 64QAMといった単位で割付けを行い、ビットストリームに判定した後、まとめて誤り訂正しているようです。
注６：ランダムな外来干渉に由来する雑音やモデム自体が内臓するアンプなどの熱雑音は白色を仮定してもいいが、現実には、周期的インパルス信号であったり、狭帯域信号であったりします。これらの抑圧に対して、それぞれの伝送方式がどんな手段を講じることができるかは、重要なノウハウです。

３．非線形歪み

送信信号の高周波増幅には線形性が要求されます。　増幅器の線形区間を広い範囲にわたって確保しようとすると、大変高価かつ大規模な回路になってしまいます。
<Single Carrier TDM>
変調波の包絡線が小さい値以下に抑えられるので、増幅器による非線形歪みに強い。　ＱＰＳＫは包絡線をできるだけ一定にしようとするものですが、実は包絡線を完全に一定にする４ＱＡＭも可能です（信号軌跡は index のフットノート）。
<Direct Sequence CDM>
多くのユーザー信号を多重化した結果、変調波のピーク電圧がスパイク状に大きくなることがあります。　この現象を冗長なしの符号化で解決することはできません。　非線形歪みの影響はマルチパスによって前後のシンボルに波及し、受信側での除去は困難となります。
<OFDM>
上に同じ。

４．クロック周波数オフセット

昔のアナログ電話回線用モデムでは、信号がリンクを重ねるたびに搬送波の周波数ゆらぎが加算され、このゆらぎを抑圧することが大きな課題でした。しかし、近年では、通信の物理層が意味をもつのは基地局-端末間あるいは端末-端末間においてです。
この場合、チャンネルの特性変動以外で問題となる時変要因は送受の発信器の周波数オフセットに限られます。具体的に言えば、送信側のＤＡＣと受信側のＡＤＣに供給されるサンプリング周波数の誤差ということになります。この誤差がモデムに与える影響とその対策は次のようです。

    1. 受信側で生成したシンボル速度が受信信号のシンボル速度と異なるので、等化器などはこれに追随する必要がある。
    2. 受信側で再生した搬送波周波数は受信信号の搬送波と異なるので、同期検波はこれに追随する必要がある。
    3. 上記のディジタル信号処理の追随誤差が大きければ、受信器の発信器をＶＣＯにしてこれを制御する必要がある。

そもそも、受信信号から搬送波周波数が推定できるかどうかが問題です。　これが不可能ならば、

    1. なんらかの方法でパイロット・トーンなどを別送りする
    2. まず強制等化を優先してアイを開かせて、周波数オフセットを推定

ということになります。　本論に行く前に、上記の手段を使わずに、

「大きな波形歪を受けた受信信号から搬送波周波数の推定が可能か？」

という基本的疑問に触れておきましょう。　この答えは「ＮＯ！」です。同期検波で説明したように、波形歪が搬送波の位相回転に相当する成分を含んでおり、搬送波の位相回転と区別がつかないからです。したがって、ここでは上記２．の方策

強制等化 ⇒ 等化器出力で周波数制御 ⇒ 仮判定（decision directed)適応等化

に沿って考察してみましょう。
<Single Carrier TDM>
クロック周波数オフセットに由来するシンボル速度偏差に対する追随は、等化器のタップ重みが左右に移動する形で実現されます。多くの場合、この移動速度は搬送波位相回転に比べて相対的に小さいので、等化器は余裕を持って追随できます。クロック周波数オフセットに由来する搬送波周波数偏差の追随が大きな問題ですが、これを解決するため、周波数制御を等化器の出力に含めた共通回路が古くから開発されいます。これは成熟した技術で、その引き込み範囲も広く、またディジタルＶＣＯを実行するので、その制御信号を使ってアナログＶＣＯを制御することも可能です。
強制等化ができないシステムでは、

ブラインド等化 ⇒ 搬送波周波数偏差推定 ⇒ 仮判定適応等化

という手段も考えられます。まず、Constant Modulus Blind Equalization（アルゴリズムは位相回転 に insensitive ）によってチャンネル歪みだけをブラインド等化します。　等化出力は

のようになり、これから、 と を推定し、シンボル系列 を判定します。　たとえば、下記はビタビ・アルゴリズムを適用した例です。
K.Takanashi and Y.Sato: “A New Method of QAM Blind Receiver”  Proc. Of the 10th International Symposium on Personal, Indoor and Mobile Radio Communication, Sept. 1999  (pdf)
<Direct Sequence CDM>
整合フィルタを使ったＲＡＫＥを前提とします。周波数オフセットがブロック長に比べて小さいときは、当該ユーザーのＣＤＭ符号を とすると、受信信号のサンプル値列との相関は、他ユーザーとの相関はゼロなので、近似的に

 

のように書けます。　ここで、は当該ユーザーのテストデータ（たとえば）です。　、 が既知なので、 ならば位相回転 を推定することができます。ブロックを受信するたびに がどのように変化するかを見れば、周波数オフセットを推定することができます。重要な指標は、”周波数オフセット×ブロック長”ですが、これが大きいと、が成立しないことに加えて、ＣＤＭ符号の直交性も乱れます。
<OFDM>
クロック周波数偏差は周波数領域ではスペクトルの圧縮・伸長になります。ＣＤＭと同様に、”周波数オフセット×ブロック長”が小さいとき、サブチャンネルのテストデータからの位相回転を見て周波数オフセットを推定できます。”周波数オフセット×ブロック長”が大きいと、位相回転の推定精度が落ち、周波数軸での伸縮・伸長によってサブチャンネル間の距離が変化するため直交性が乱れます。
注７：周波数オフセットの処理は、チャンネルの波形歪と深く関係し、高速伝送では非常にやっかいな問題です。それぞれの伝送方式の実際的な設計において頭の痛い問題です。高い技術が要求されます。

 

最適伝送を開始する前に、
送信信号を伝送路にマッチさせる必要がある。
OFDMでは、
１．サブチャンネルごとに、受信信号のSNRを推定する
２．各サブチャンネルをグループ分けする
３．送信データを各グループに配分する
４．配分結果に基づく設定を、送信側と受信側で確立する
という手順が必要になる。
この手順を実行するとき、最も情報伝送速度が高くなるような「グループ分け」は？
これはナップザック問題となる（THP参照）。

 

 　ページのトップへ