信号や画像の処理に広く使われるフィルター（濾波器）は、特定の周波数域の成分を通過させ、それ以外の成分をカットする操作を行います。 一般に複素信号まで拡張して、ゼロ周波数から上（正のすべての周波数成分）をそのまま通過させ、ゼロ周波数から下（負のすべての周波数成分）をカットする一つのフィルターを考えます。 すると、これだけを用いてすべてのフィルターが合成できます。 このようなフィルターを
で表します。
この 
をもとに、下記の事実を用いるだけで、すべてのフィルターを合成することができます。
複素共役は周波数特性の反転（直流を中心に折り返すこと）を表す。
たとえば、
は上の青い特性を０ Ｈｚ を中心に左へ折り返したもの、
すなわち負周波数通過、正周波数成分をカットになります。
まず、
以上を通過させ、それ以下（負成分も含めて）をカットするハイパス・フィルターは
です。 実信号を対象にするならば、この複素共役を足して、
を作れば済みます。 
から 
までを通過させるバンドパス・フィルターは
です。 実信号を対象にするならば、この複素共役を足して、
を作ります。 フィルター
は以下のような形をしています。
ここで、
はヒルベルト ( David
Hilbert
1862-1943)変換で、下のような特性をもっています。
すなわち、どの正周波数成分も９０度位相を遅らせ、どの負周波数成分も９０度位相を早めるという操作を示しています。 ヒルベルト変換は線形フィルターですから、時間領域表現はコンボリューションで表現できるはずであり、それは下のような形をしています。
ヒルベルト変換のインパルス応答は直角双曲線
であり、時刻ゼロで特異点をもちます。 
や 
は複素信号です。 このインパルス応答が前記のようなオールパス９０度位相シフト特性をもつことを確かめてみましょう。 そのために、周波数
の複素トーン信号 
にヒルベルト変換を施してみます。
(1)
右辺の第１項は、
が偶関数、
が奇関数なので、被積分関数が奇関数なのでゼロになりそうです。 ただし、
で特異（被積分関数が右から 
に発散し、左からは 
に発散）なので、積分の意味をちゃんと定義しておく必要があります。 一般的な表現は
ですが、
や 
が独立にゼロに接近すれば積分値はいろいろ変わってしまいます。 この自由度を除くには、同じ速度でゼロに接近させる（
とする）のがもっとも典型的ですから、これを仮定すると上の積分はゼロになります。 このような積分結果をコーシー
(Augustin
Louis Cauchy,
1789-1857)主値と呼んでいます。 式（１）の右辺第２項の被積分関数は標本化関数(sampling function)であり、その積分結果は、
となります。 以上から、定数倍は本質的でないので無視すると、上で示したヒルベルト変換の周波数特性
が得られます。 フィルター
を実際に装置化するには、ヒルベルト変換のインパルス応答が時刻ゼロで発散する形をしているので、この問題を解決しなければなりません。 高周波信号を扱うならばアナログ回路で、低周波信号ならばAD変換してディジタルフィルターで近似的に実現することになります。 以下、これらの設計方針を簡単に説明します。
アナログ回路では９０度位相差分波器で
を近似実現します。 ラプラス変換の形で表現した線形アナログ回路の伝達関数は一般に微分作用素
の有理関数で与えられます。 ゼロ点
や極 
は一般に複素数です。
この伝達関数から回路定数を決めてRLC回路を設計することができます。 上の伝達関数に微分の周波数特性
を代入すれば、周波数特性が得られます。 次に、
としてみます。
すると、
ですから、
はオールパス（すべての周波数成分の大きさを変化させないで通過させる）フィルターになります。 この形のフィルターを二つ用意し、それらを
, 
であらわします。
上記二つの伝達関数もやはりオールパスですが、その位相特性が入力信号の周波数帯域で（たとえば、
70MHz から 100MHz までの範囲で）、できるだけ９０度を保つように 
と 
を最適化します。(100-70) と100 の比を比帯域といっていますが、これが大きくなるにつれて９０度位相差の近似が困難になります。 普通は、高い周波数で変調された信号を対象にしますので、比帯域が非常に小さく、９０度位相差特性が十分な精度で実現できます。 実際の設計手法は回路網の専門書を参考にしてください。 ９０度位相差分波器の構造を下図のようです。
二つの出力の間に９０度位相差特性が実現されているので、それぞれを実部と虚部とみなした複素信号の周波数成分は正だけになります。 実際の９０度位相差分波器では、位相差が相対的に９０度になることに主眼を置いて設計されるため、信号全体がひずむことに留意していません。 すなわち、負周波数のカットを精度よく実現する反面、通過した正周波数成分の位相歪はほったらかしなので、注意を要します。
次に、ディジタルフィルターで実現する問題について考えてみます。 もちろん、上で求めたアナログ伝達関数に、たとえば、積分公式
前進オイラー ( Leonhard
Euler
,1707-1783)公式
後進オイラー公式
台形公式
を代入して
IIR (Infinite Impulse Response)
ディジタルフィルターを実現することもできます。 しかし、この場合はヒルベルト変換を直接的にトランスバーサルフィルター
すなわち、FIR (Finite Impulse Response)フィルターで近似した方が見通しの良い設計ができ、また歪のないフィルターを実現できます。 とりあえず、周波数区間
[ -W/2, W/2] Hz について、ヒルベルト変換の周波数特性と時間応答は下図のようになります。 黒い線は振幅、赤い線は位相特性を表しています。 時間応答は振動しながら
でゆっくり減衰しています。時間軸に示された目盛りは T=1/W を表しています。
上の応答がなかなか減衰しない理由は、フィルターの帯域を W/2 Hz でいきなりカットしたからなので、今度は W/2 Hz から先でゆるやかに余弦ロールオフをかけてカットしてみます。 ただし、９０度位相特性は厳密に保ったままとします。 すると、下図のように少し速く減衰する時間応答が得られます。
上の周波数特性はまだ周波数ゼロの点で位相の不連続な変化を含んでいます。 しかし、もし対象とする入力信号が直流近辺の成分をあまり含んでいなければ、直流近辺の位相の変化も滑らかにすることができます。 実は、直流成分を強く含んでいる場合でも、VSBAM変調などに適用する場合には矛盾なく目的を果たすことができます（振幅変調を参照）。 下図の例は、区間 [W/4, W/2] Hz の信号に対してヒルベルト変換をする例です。
これらのＦＩＲ
ヒルベルト変換を用いて
を実現するブロック図は下のようになります。
注１： 数学的には、ヒルベルト変換に定数
を掛けるべきですが、定数はあまり重要ではないので省きました。 また、変数の正負や複素共役の選択によって定義に自由度があり、かつヒルベルト変換のヒルベルト変換は単にマイナス１倍になるので、上のストーリーでは実部と虚部が互いにヒルベルト変換の関係にあるという捉え方で十分です。
注２： ヒルベルト変換は因果律と深い関係にあります。 微分や積分といった線形操作が因果的かどうかという問題は大変基本的なことなので、因果律、線形システム、（非）最小位相推移 などのページを参照してください。
注３： 扱う対象が因果的か非因果的かということを意識することは大切です。画像処理などのように座標軸が空間的なものは因果律と無縁です。また通信も、十分時間遅延を許せば因果律と無縁です。制御は信号を帰還するので、因果律に支配されます。 システムの安定性や逆システムを考える際、、まずは”因果律”を意識してください。